e sayısı ve bilinmeyenleri

Alp Güleç - 12 Temmuz 2012 01:27

Hemen herkes tarafından bilinen fakat pi sayısı kadar öne çıkarılmadığından daha gizemli bir hale bürünen e sayısı ismini ünlü matematikçi Leonhard Euler’den almıştır. İrrasyonel ve transandantal bir sayıdır. Yani tamsayı veya rasyonel katsayılı bir polinomun kökü değildir. Bir diğer ismi Euler sabitidir. Ancak Napier sabiti olarak da anılır. Zira ilk olarak İskoç Matematikçi John Napier’in logaritma kitabının ek kısmında yer almış fakat üzerinde fazla durulmamıştır. Sayının kaşifi ise matematikçi Jakob Bernoulli olmuştur. Kendisi bileşik faiz problemini incelerken bu sabiti keşfetmiş ve hesaplamıştır. e sabitinin yaklaşık değeri şöyledir;

0

 

2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696
7627724076630353547594571382178525166427427466391932003059921
8174135966290435729003342952605956307381323286279434907632338
2988075319525101901157383418793070215408914993488416750924476
1460668082264800168477411853742345442437107539077744992069551
7027618386062613313845830007520449338265602976067371132007093
2870912744374704723069697720931014169283681902551510865746377
2111252389784425056953696770785449969967946864454905987931636
8892300987931277361782154249992295763514822082698951936680331
82528869398496465105820939239829488793320362509443117301238...

Bileşik faiz probleminden bahsedilirse;

1 lirası olan bir yatırımcı parasını 
yılda %100 faiz veren bir bankaya yatırırsa 1 sene sonra 2 lirası olur.
6 ayda bir %50 faiz veren bir bankaya yatırırsa 1 sene sonra 2,25 lirası olur.
3 ayda bir %25 faiz veren bir bankaya yatırırsa 1 sene sonra 2,44... lirası olur.
ayda bir %8,33... faiz veren bir bankaya yatırırsa 1 sene sonra 2,6130... lirası olur.
ve aynı şekilde haftada bir işleyen faiz sonunda 1 sene sonra 2,6925... lirası olur.
her gün işleyen faizi hesapladığımızda ise 1 sene sonra 2,71453... lirası olur.

Faiz süresi kısaldıkça e sayısına daha da yaklaşılmış olunur.

 

Formülize edilirse;

1

Örnek verilirse;
Aylık faiz için n=12 (1×(1+1/12)^12 = 2.613035...)
Günlük faiz için ise n=365’dir.
ve haliyle şu şekilde ifade edilir.

3
Bir diğer alternatif ise budur.

4

e sayısı olasılık hesabında da karşımıza çıkar. Bunu Bernoulli denemelerinde görürüz.

1/n kazanma şansı olan bir oyun n defa oynandığında yaklaşık 1/e ihtimalle kazanılamayacaktır. n’in büyümesi 1/e’ye o kadar yaklaşılacağı manasına gelir.

Formülize edildiğinde binom dağılımına göre şu şekildedir;

5


Örnek verilirse milyon denemede şu şekildedir;

6

k değeri, n defada k kere kazanma olasılığının bulunmasında rol oynar.
k’yı 0 alırsak, kazanma olasılığı;

7

olurken, kaybetme olasılığı;

8

olmuş olur. Yani 1/e’ye yaklaşmış oluruz.

e sayısına şapka probleminde de yaklaşılmaktadır.
 

Şapka problemi şudur;
n tane müşteri vestiyere şapkalarını bırakıyor. Çıkışta ise vestiyer müşteriye rastgele bir şapka seçip veriyor. n müşterinin hiçbirinin kendi şapkasını almama olasılığı nedir?

Olasılık şöyle bulunur;

9

n sayısı büyüdükçe de 1/e’ye yaklaşılmış olur.

ve e sayısı da sonsuz toplama eşit olmuş olur.

10

Bazı özelliklerden bahsedersek;

e^x'in türevi alındığında,

11

 

e logaritma tabanı olduğunda,

12

 

e^x'in integrali alındığında,

13

 

 

Aşağıdaki integral denklemini de işe katarak çok önemli bir noktaya değinmiş oluruz;

14

17

15

16

 yx=1 eğrisi, e sayısını doğal logaritma tabanı yapan özelliktir ve ünlü bilimadamı Christiaan Huygens tarafından Bernoulli’den de önce incelenmiştir.

Aynı zamanda e sayısı asimptotik problemlerde de karşımıza çıkmaktadır.
Stirling’in faktöriyel fonksiyonu asimptotiği formülü buna bir örnektir.

18

19

Aynı zamanda e^x üstel fonksiyonu Taylor serileri halinde yazılabilir.

20

Buradan yola çıkarsak x’in kompleks sayı olma durumunda bu serinin e^x hakkında önemli özellikler barındırması ve trigonometrik fonksiyonlar ile kompleks üstel fonksiyonlar arasında derin ilişki bulunması Euler’in formülüne götürmektedir.

21

22

Kaynakça

  • Jerrold E. Marsden, Alan Weinstein - Calculus
  • Sondow, Jonathan - Wolfram Alpha Research
  • biltek.tubitak.gov.tr
  • math.dartmouth.edu
  • Sandifer, Ed - MAA Online
  • Wikipedia.org (Görseller/notlar)
  • MathBin (Latex)